Question

（2013•哈爾濱一模）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù) f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-a）
（1）當(dāng)a=5時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）零點(diǎn)分段法：令|x-1|+|x-5|-5＞0，按x＜1，1≤x≤5，x＞5三種情況討論去掉絕對(duì)值符號(hào)即可解得不等式；
（2）f（x）的值域?yàn)镽說(shuō)明函數(shù)定義域是（0，+∞），求出f（x）的最小值，由最小值可得a的取值范圍；

解答：解：（1）當(dāng)a=5時(shí)，f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-5），
令|x-1|+|x-5|-5＞0，
當(dāng)x＜1時(shí)，|x-1|+|x-5|-5=（1-x）+（5-x）-5=1-2x＞0，得x＜

1

2

；
當(dāng)1≤x≤5時(shí)，|x-1|+|x-5|-5=-1＜0不滿足題意；
當(dāng)x＞5時(shí)，|x-1|+|x-5|-5=2x-11＞0，得x＞

11

2

；
綜上，f（x）的定義域?yàn)閧x|x＜

1

2

或x＞

11

2

}；
（2）當(dāng)f（x）的值域?yàn)镽時(shí)，說(shuō)明函數(shù)定義域是（0，+∞），
因?yàn)閨x-1|+|x-5|的最小值為4，
所以當(dāng)a≥4時(shí)，|x-1|+|x-5|-a可以取到（0，+∞），
故a的取值范圍是[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域、值域以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查絕對(duì)值不等式的解法，考查分類(lèi)討論思想，屬中檔題．