Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的值域；

（2）若函數的最大值是，求的值；

（3）已知，若存在兩個不同的正數，當函數的定義域為時，的值域為，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2）（3）

【解析】

（1）時寫出函數表達式，根據真數范圍求解函數值域即可。（2）設換元真數部分為關于的一元二次函數，又有最大值，所以開口只能向下，即，在對稱軸處取得最大值，即可求出的范圍。（3）較易判斷為增函數，函數的定義域為時，的值域為可理解為函數與有兩個交點正數交點，，另外將進行換元即可轉化成關于的一個一元二次函數求解。

（1）時，

因為，所以

所以此時的值域是。

（2）設，則，若此時，開口向上沒有最大值。由第一問可知）時也不滿足，所以開口只能向下，即且此時對稱軸。

當時，最大值在對稱軸處取得，

即

解出 或（舍）

所以。

（3）當時，設，設真數為，此時對稱軸，所以當時m為增函數，即為增函數。

所以函數的定義域為時，的值域為，可理解為函數與有兩個交點正數交點，，

即有兩個正根。

即，設

所以

即有兩個大于1的根。

所以此時只需即可，即

又，所以。