Question

8．正三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B在拋物線x²=2py（p＞0）上，另一個(gè)頂點(diǎn)C是此拋物線焦點(diǎn)，則滿足條件的三角形ABC的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由題意可知：x²=2py（P＞0）的焦點(diǎn)F（0，$\frac{p}{2}$），則兩個(gè)邊的斜率k=±tan60°=±$\sqrt{3}$，其方程為：y=±$\sqrt{3}$x+$\frac{p}{2}$，每條直線與拋物線均有兩個(gè)交點(diǎn)，焦點(diǎn)兩側(cè)的兩交點(diǎn)連接，分別構(gòu)成一個(gè)等邊三角形．滿足條件的三角形ABC的個(gè)數(shù)為2，

解答 解：由拋物線x²=2py（P＞0）的焦點(diǎn)F（0，$\frac{p}{2}$），
等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線x²=2py（P＞0）的焦點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，則等邊三角形關(guān)于x軸軸對(duì)稱
兩個(gè)邊的斜率k=±tan60°=±$\sqrt{3}$，其方程為：y=±$\sqrt{3}$x+$\frac{p}{2}$，
每條直線與拋物線均有兩個(gè)交點(diǎn)，焦點(diǎn)兩側(cè)的兩交點(diǎn)連接，分別構(gòu)成一個(gè)等邊三角形．
滿足條件的三角形ABC的個(gè)數(shù)為2，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．主要是利用拋物線和正三角形的對(duì)稱性，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．