Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），且a₁=2，b_n=log₃（a_n+1）
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），變形為a_n+1=3（a_n-1+1），即可證明；
（2）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an+1=3n，于是b_n=log₃（a_n+1）=n．因此

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： （1）證明：∵a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+1=3（a_n-1+1），
又a₁+1=3，
∴數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列．
（2）解：∵數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，公比為3．
∴an+1=3n，即a_n=3ⁿ-1．
∴b_n=log₃（a_n+1）=log33n=n．
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．

∴S_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．