如圖， 在三棱錐
中，
．
（1）求證：平面
平面
；
（2）若
，
，當三棱錐的體積最大時，求
的長．
（1）詳見解析；（2）
.
【解析】
試題分析：（1）利用已知條件先證明
平面
，然后再利用平面與平面垂直的判定定理證明平面
平面；（2）方法1：利用（1）中的提示信息說明
平面
，將
視為三棱錐
的高，設
，將底面積用
表示出來，最后將三棱錐用以的代數式進行表示，并結合基本不等式求最大值；方法2：由于
為直角三角形，將的面積用以
為自變量的三角函數表示，最終將三棱錐的體積用三角函數進行表示，最后利用三角函數的相關方法求體積的最大值.
試題解析：（1）證明：因為
，所以
，
． 1分
因為
，所以平面．
2分
因為
平面，所以
．
3分
因為
，所以
．
4分
因為
，所以平面．
5分
因為平面
，所以平面平面．
6分
（2）方法1：由已知及（1）所證可知，平面，，
所以是三棱錐的高．
7分
因為
，
，設
， 8分
所以
． 9分
因為
10分
11分
．
12分
當且僅當
，即
時等號成立．
13分
所以當三棱錐的體積最大時，
．
14分
方法2：由已知及（1）所證可知，平面，
所以是三棱錐的高．
7分
因為，設
，
8分
則
，
．
9分
所以
．
10分
所以
．
11分
因為
，
所以當
，
有最大值
．
12分
此時
．
13分
所以當三棱錐的體積最大時，．
14分
考點：平面與平面垂直的判定，錐體體積的計算，基本不等式，三角函數的最值.
科目：高中數學 來源：2013屆廣西玉林市高二下學期三月月考文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
如圖，在三棱錐
中，側面
與側面
均為等邊三角形，
，
為
中點．
（Ⅰ）證明：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值． （本題12分）
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年浙江省臺州市高三上學期期末理科數學試卷 題型：解答題
如圖，在三棱錐
中，
兩兩垂直且相等，過
的中點
作平面
∥
，且分別交
于
，交
的延長線于
．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）若
，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源：2011---2012學年四川省高二10月考數學試卷 題型：解答題
如圖：在三棱錐
中，已知點
、
、
分別為棱
、
、
的中點.
（Ⅰ）求證：
∥平面
；
（Ⅱ）若
，
，求證：平面
⊥平面.
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科目：高中數學 來源：黑龍江省2013屆高一下學期期末考試數學（理） 題型：解答題
如圖，在三棱錐
中，
，
為
中點。（1）求證：
平面
（2）在線段
上是否存在一點
，使二面角
的平面角的余弦值為
？若存在，確定點位置；若不存在，說明理由。
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如圖，在三棱錐
中，
，
，
，
．
；
的大小；
到平面
的距離．