Question

如圖， 在三棱錐中，．

（1）求證：平面平面；

（2）若，，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用已知條件先證明平面，然后再利用平面與平面垂直的判定定理證明平面平面；（2）方法1：利用（1）中的提示信息說(shuō)明平面，將視為三棱錐的高，設(shè)，將底面積用表示出來(lái)，最后將三棱錐用以的代數(shù)式進(jìn)行表示，并結(jié)合基本不等式求最大值；方法2：由于為直角三角形，將的面積用以為自變量的三角函數(shù)表示，最終將三棱錐的體積用三角函數(shù)進(jìn)行表示，最后利用三角函數(shù)的相關(guān)方法求體積的最大值.

試題解析：（1）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000070911954607/SYS201309200008205496478376_DA.files/image013.png">，所以，．        1分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000070911954607/SYS201309200008205496478376_DA.files/image016.png">，所以平面．                      2分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000070911954607/SYS201309200008205496478376_DA.files/image017.png">平面，所以．                        3分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000070911954607/SYS201309200008205496478376_DA.files/image019.png">，所以．                          4分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000070911954607/SYS201309200008205496478376_DA.files/image021.png">，所以平面．                      5分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000070911954607/SYS201309200008205496478376_DA.files/image017.png">平面，所以平面平面．                  6分

（2）方法1：由已知及（1）所證可知，平面，，

所以是三棱錐的高．           7分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000070911954607/SYS201309200008205496478376_DA.files/image024.png">，，設(shè)，     8分

所以．    9分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000070911954607/SYS201309200008205496478376_DA.files/image028.png">

                              10分

                            11分

．                                  12分

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．                     13分

所以當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，．                   14分

方法2：由已知及（1）所證可知，平面，

所以是三棱錐的高．                           7分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000070911954607/SYS201309200008205496478376_DA.files/image019.png">，設(shè)，                    8分

則，．                 9分

所以．               10分

所以

．                               11分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000070911954607/SYS201309200008205496478376_DA.files/image042.png">，

所以當(dāng)，有最大值．                          12分

此時(shí)．                              13分

所以當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，．                   14分

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定，錐體體積的計(jì)算，基本不等式，三角函數(shù)的最值.