Question

4．若數(shù)f（x）=lnx+x²+ax（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線與直線x+2y-1=0垂直，求實數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（1），得到關(guān)于a的方程，解出即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}+2x+a$，由f'（1）=2，解得：a=-1…（5分）
（2）∵$x＞0，f'（x）=\frac{1}{x}+2x+a≥2\sqrt{2}+a$
①當(dāng)$a≥-2\sqrt{2}$時，f'（x）≥0恒成立，則f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
②當(dāng)$a＜-2\sqrt{2}$時，$f'（x）=\frac{{2{x^2}+ax+1}}{x}$，
設(shè)g（x）=2x²+ax+1，∵$a＜-2\sqrt{2}$，∴方程g（x）=0的兩根都大于0，
此時函數(shù)的增區(qū)間為$（0，\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-8}}}{4}）$和$（\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-8}}}{4}，+∞）$，
減區(qū)間為$（\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-8}}}{4}$，$\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-8}}}{4}）$
綜上，當(dāng)$a≥-2\sqrt{2}$時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)$a＜-2\sqrt{2}$時，函數(shù)的增區(qū)間為$（0，\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-8}}}{4}）$和$（\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-8}}}{4}，+∞）$，
減區(qū)間為$（\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-8}}}{4}$，$\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-8}}}{4}）$…（12分）

點評 本題考查了切線方程以及函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．