Question

13．設(shè)雙曲線 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（ a＞0，b＞0）的一條漸近線與拋物線 y=x²+1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{5}{4}$
• B． 5
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由雙曲線方程求得雙曲線的一條漸近線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)判別式等于0求得 $\frac{a}$，進(jìn)而根據(jù)c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$求得 $\frac{c}{a}$即離心率．

解答 解：雙曲線 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（ a＞0，b＞0）的一條漸近線為y=$\frac{a}$x，
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{y={x}^{2}+1}\end{array}\right.$，消去y，
x²-$\frac{a}$x+1=0有唯一解，
所以△=（$\frac{a}$）²-4=0，
所以$\frac{a}$=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．離心率問題是圓錐曲線中常考的題目，解決本題的關(guān)鍵是找到a和b或a和c或b和c的關(guān)系．