Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=l，E是PD的中點(diǎn)．
（1）求AB與平面AEC所成角的正弦值；
（2）若點(diǎn)F在線段PD上，二面角E-AC-F所成的角為θ，且tanθ=

2

2

，求

PF

FD

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,用空間向量求直線與平面的夾角

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，平面AEC的一個(gè)法向量

n

=（x，y，z），利用向量垂直的性質(zhì)求出一個(gè)法向量，利用法向量與AB的夾角解答；
（2）設(shè)

PF

=λ

FD

，），

AF

=（0，

λ

1+λ

，

2

1+λ

），平面AFC的一個(gè)法向量為

m

=（a，b，c），利用法向量與平面內(nèi)向量的垂直關(guān)系，得到關(guān)于λ的等式解之．

解答： 解：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖

則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），E（0，

1

2

，1），

AC

=（2，1，0），

AE

=（0，

1

2

，1），

AB

=（2，0，0），
設(shè)AB與平面AEC所成的角為α，平面AEC的一個(gè)法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AC =0 n • AE =0

，所以

2x+y=0 1 2 y+z=0

，取y=-2，

n

=（1，-2，1），
sinα=|cos＜

AB

，

n

＞|=

|2+0+0|

2 6

=

6

6

；
（2）設(shè)

PF

=λ

FD

，則F（0，

λ

1+λ

，

2

1+λ

），

AF

=（0，

λ

1+λ

，

2

1+λ

），
令平面AFC的一個(gè)法向量為

m

=（a，b，c），
則

m • AC =0 m • AF =0

，即

2a+b=0 bλ 1+λ + 2c 1+λ =0

，取b=-2，得

m

=（1，-2，λ），
由tanθ=

2

2

得cosθ=

6

3

=|cos＜

n

，

m

＞|=

|5+λ|

6 5+λ2

，
所以3λ²-10λ-5=0，所以λ=

5±2 10

3

，
又λ＞0，所以λ=

5+2 10

3

，即

PF

FD

=

5+2 10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間向量的運(yùn)用解答線面角和面面角的有關(guān)問題，關(guān)鍵是適當(dāng)?shù)慕�立坐�?biāo)系，正確寫出所需向量的坐標(biāo)，利用線面角、面面角的三角函數(shù)與平面的法向量夾角的關(guān)系解答，屬于中檔題．