Question

13．已知f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx，設(shè)g（x）=[f（x）]²-2．
（1）求函數(shù)g（x）的表達(dá)式與最小正周期；
（2）求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由兩角和的正弦公式化簡f（x），由二倍角的余弦公式變形化簡g（x），由三角函數(shù)的周期公式求出g（x）的最小正周期；
（2）由（1）和余弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）由題意得，$f（x）=sinx+\sqrt{3}cosx$
=$2（\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）=2sin（x+\frac{π}{3}）$，
所以g（x）=[f（x）]²-2=4${sin^2}（x+\frac{π}{3}）-2$
=$-2cos（2x+\frac{2π}{3}）$，
由T=$\frac{2π}{2}=π$得，g（x）的最小正周期為π；
（2）由2kπ≤$2x+\frac{2π}{3}$≤2kπ+π得，
$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$kπ+\frac{π}{6}$，（k∈Z）
所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{3}$，$kπ+\frac{π}{6}$]（k∈Z）．

點評 本題考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換中的公式，以及三角函數(shù)的周期公式，考查整體思想，化簡、變形能力．