Question

已知函數(shù)f（x）=（2-x）e^x，g（x）=（x²+ax-2a-3）e^x，求證：當(dāng)a≥-3時(shí)，一定存在x₁、x₂∈[0，5]，使得f（x₁）-g（x₂）≥0．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）和g（x）在[0，5]上的最值，只要證明f（x）_max≥g（x）_max．即可得到證明結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=（2-x）e^x，
∴f'（x）=-xe^x+（2-x）e^x=（2-2x）e^x，
由f'（x）＜0得x＞1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f'（x）＞0得x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值f（1）=e，
∴當(dāng)x∈[0，5]時(shí)，函數(shù)取得最大值f（1）=e．
∵g（x）=（x²+ax-2a-3）e^x，
∴g'（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax-2a-3）e^x=[x²+（a+2）x-a-3]e^x=（x-1）（x+a+3）e^x，
由g'（x）=（x-1）（x+a+3）e^x=0，
得x=1或x=-a-3，
∵a≥-3，
∴-a-3≤0，
∴當(dāng)1≤x≤5時(shí)，g'（x）≥0此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，g'（x）≤0此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得極小值同時(shí)也是最小值為g（1）=（-a-2）e．
即函數(shù)g（x）在[0，5]上的最小值為g（1）=（-a-2）e．
∵當(dāng)x∈[0，5]，f（x）≤e，g（x）≥（-a-2）e．
∴當(dāng)a≥-3時(shí)，（-a-2）e≤e，
即f（x）_max≥g（x）_max．
即當(dāng)a≥-3時(shí)，一定存在x₁、x₂∈[0，5]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，
即f（x₁）-g（x₂）≥0．成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)最值和函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，將不等式f（x₁）-g（x₂）≥0．轉(zhuǎn)化為求f（x）_max≥g（x）_max．是解決本題的突破點(diǎn)．