Question

13．已知正三棱錐P-ABC，點P，A，B，C都在半徑為1的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 先利用正三棱錐的特點，將球的內接三棱錐問題轉化為球的內接正方體問題，從而將所求距離轉化為正方體中，中心到截面的距離問題，利用等體積法可實現此計算．

解答 解：∵正三棱錐P-ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，
∴此正三棱錐的外接球即以PA，PB，PC為三邊的正方體的外接球O，
∵球O的半徑為1，
∴正方體的邊長為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即PA=PB=PC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
球心到截面ABC的距離即正方體中心到截面ABC的距離，
設P到截面ABC的距離為h，則正三棱錐P-ABC的體積V=$\frac{1}{3}$S_△ABC×h=$\frac{1}{3}$S_△PAB×PC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{3}$，
△ABC為邊長為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$的正三角形，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴h=$\frac{2}{3}$，
∴球心（即正方體中心）O到截面ABC的距離為$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考球的內接三棱錐和內接正方體間的關系及其相互轉化，棱柱的幾何特征，球的幾何特征，點到面的距離問題的解決技巧，有一定難度，屬中檔題．