Question

18．如圖，在四棱錐S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且P為AD的中點(diǎn)，Q為SB的中點(diǎn)．
（1）求證：PQ∥平面SCD；
（2）求證：；CD⊥SA
（3）若SA=SD，M為BC的中點(diǎn)，在棱SC上是否存在點(diǎn)N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）取SC的中點(diǎn)R，連QR，DR．推出PD=$\frac{1}{2}$BC，QR∥BC且QR=$\frac{1}{2}$BC．然后證明四邊形PDRQ為平行四邊形，即可證明PQ∥平面SCD．
（2）證明CD⊥AD，然后證明CD⊥平面SAD，即可證明結(jié)論；
（3）存在點(diǎn)N為SC中點(diǎn)，使得平面DMN⊥平面ABCD．連接PC、DM交于點(diǎn)O，連接PM、SP，證明NO∥SP，NO⊥平面ABCD，然后證明平面DMN⊥平面ABCD．

解答 證明：（1）取SC的中點(diǎn)R，連QR，DR．
由題意知：PD∥BC且PD=$\frac{1}{2}$BC．
在△SBC中，Q為SB的中點(diǎn)，R為SC的中點(diǎn)，
所以QR∥BC且QR=$\frac{1}{2}$BC．
所以QR∥PD且QR=PD，
則四邊形PDRQ為平行四邊形．
所以PQ∥DR．又PQ?平面SCD，DR?平面SCD，
所以PQ∥平面SCD．…（4分）
（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，則CD⊥AD．
又平面SAD⊥平面ABCD，
且面SAD∩面ABCD=AD，
所以CD⊥平面SAD，
所以CD⊥SA．…（8分）
解：（3）N為SC的中點(diǎn)連接PC、DM交于點(diǎn)O，連接PM、SP，
因?yàn)镻D∥CM，并且PD=CM，
所以四邊形PMCD為平行四邊形，所以PO=CO．
又因?yàn)镹為SC中點(diǎn)，
所以NO∥SP．…（12分）
因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，并且SP⊥AD，
所以SP⊥平面ABCD，
所以NO⊥平面ABCD，…（13分）
又因?yàn)镹O?平面DMN，
所以平面DMN⊥平面ABCD．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力．