Question

要制作一個如圖的框架(單位：m)，要求所圍成的總面積為19.5(m²)，其中ABCD是一個矩形，EFCD是一個等腰梯形，梯形高h＝AB，tan∠FED＝，設AB＝xm，BC＝y(tǒng)m.

(1)求y關于x的表達式；
(2)如何設計x、y的長度，才能使所用材料最少？

Answer 1

（1）y＝－x （2）AB＝3m，BC＝4m

(1)如圖，在等腰梯形CDEF中，DH是高．

依題意：DH＝AB＝x，EH＝×x＝x，
∴＝xy＋ x＝xy＋x²，∴y＝－x.
∵x＞0，y＞0，∴－x＞0，解之得0＜x＜.
∴所求表達式為y＝－x .
(2)在Rt△DEH中，∵tan∠FED＝，∴sin∠FED＝，
∴DE＝＝x×＝x，
∴l(xiāng)＝(2x＋2y)＋2×x＋＝2y＋6x＝－x＋6x＝＋x≥2＝26，
當且僅當＝x，即x＝3時取等號，
此時y＝－x＝4，
∴AB＝3m，BC＝4m時，能使整個框架所用材料最少．