Question

已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），C（0，2），直線y=ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（　�。�

• A、（0，2-

  2

  ）
• B、(2-

  2

  ，1)
• C、(2-

  2

  ，

  2

  3

  ]
• D、[

  2

  3

  ，1)

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程

專(zhuān)題：直線與圓

分析：先求得直線y=ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（-

b

a

，0），由-

b

a

≤0可得點(diǎn)M在射線OA上．求出直線和BC的交點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用面積公式、點(diǎn)到直線以及兩點(diǎn)之間的距離公式再分三種情況分別討論：①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，求得b=

2

3

；②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，求得 b＜1；③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，求得b＞2-

2

，綜合起來(lái)可得結(jié)論．

解答： 解：由題意可得，三角形ABC的面積為S=

1

2

•AB•OC=4，

由于直線y=ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（-

b

a

，0），
由直線y=ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分可得點(diǎn)M在射線OA上．
設(shè)直線和BC的交點(diǎn)為 N，則由

y=ax+b x+y=2

，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

2-b

a+1

，

2a+b

a+1

），
①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，則點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，則-

b

a

=-2，且

2a+b

a+1

=1，解得a=

1

3

，b=

2

3

，
②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，則點(diǎn)N在點(diǎn)B和點(diǎn)C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于2，即

1

2

•MB•y_N=2，
即

1

2

•（2+

b

a

）•

2a+b

a+1

=2，解得a=

b2

1-b

＞0，故b＜1，
③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，則-

b

a

＜-2，b＞a，設(shè)直線y=ax+b和AC的交點(diǎn)為P，
則由

y=ax+b x-y=-2

求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

2-b

a-1

，

2a-b

a-1

），
此時(shí)，NP=

( 2-b a-1 - 2-b a+1 )2+( 2a-b a-1 - 2a+b a+1 )2

=

[ 2(2-b) (a-1)(a+1) ]2+[ 2a(2-b) (a-1)(a+1) ]2

=

4(1+a2)(2-b)2 (a-1)2(a+1)2

=

2|2-b|

|a+1|•|a-1|

1+a2

，
此時(shí)，點(diǎn)C（0，2）到直線y=ax+b的距離等于

|b-2|

1+a2

，
由題意可得，三角形CPN的面積等于2，即

1

2

•

2|2-b|

|a+1|•|a-1|

1+a2

•

|b-2|

1+a2

=2，
化簡(jiǎn)可得（2-b）²=2|a²-1|．
由于此時(shí) 0＜b＜a＜1，
∴（2-b）²=2|a²-1|=2-2a² ．
兩邊開(kāi)方可得2-b=

2-2a2

＜

2

，則2-b＜

2

，即b＞2-

2

，
綜合以上可得，b的取值范圍是(2-

2

，1)．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查確定直線的要素，點(diǎn)到直線和兩點(diǎn)之間的距離公式以及三角形的面積公式的應(yīng)用，還考查運(yùn)算能力和綜合分析能力，分類(lèi)討論思想，屬于難題．