Question

【題目】已知定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期2，且當x∈（0，1）時， ．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在（-1，1）上的解析式；
（Ⅱ）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）當λ取何值時，方程f（x）=λ在（-1，1）上有實數(shù)解？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）是x∈R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0．

設x∈（-1，0），則-x∈（0，1），

= =f（x）

∴

∴

（Ⅱ）證明：設0＜x1＜x2＜1，

則 ，

∵0＜x1＜x2＜1，

∴ ， ，

∴f（x1）-f（x2）＞0

∴f（x）在（0，1）上為減函數(shù)．

（Ⅲ）解：∵f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，

∴f（1）＜f（x）＜f（0）即

同理，f（x）在（-1，0）上時，f（x）

又f（0）=0

當 或 或λ=0時方程f（x）=λ在（-1，1）上有實數(shù)解．

【解析】（1）由于f（x）是定義域R上的奇函數(shù)，故一定有f（0）=0，設x∈（-1，0），則-x∈（0，1），根據(jù)f（-x）=-f（x），得出f（x）的解析式；（2）設0＜x1＜x2＜1，由單調(diào)函數(shù)的定義，著差證出f（x1）-f（x2）＞0，故f（x）在（0，1）上為減函數(shù)；（3）由二問可知f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，得出f（x）在（0,1）的值域，同理得出（-1,0）的值域，又因為f（0）=0，不難得出當 λ ∈ ( ， ) 或 ( ， ) 或λ=0時方程f（x）=λ在（-1，1）上有實數(shù)解
【考點精析】利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和奇偶性與單調(diào)性的綜合對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．