Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1處取得極值0．
（1）試確定a、b之值；
（2）若方程f（x）=k有三個解，試確定k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=3x²+6ax+b，∵函數(shù)f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1處取得極值0，f′（-1）=，f（-1）=0，解得a，b．
（2）由（1）可得：f（x）=x³+6x²+9x+4．可得f′（x），令f′（x）=0，可得極值，根據(jù)方程f（x）=k有三個解，可得f（x）極小值＜k＜f（x）的極大值．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+6ax+b，
∵函數(shù)f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1處取得極值0，∴f′（-1）=3-6a+b=0，-1+3a-b+a²=0，
解得a=2，b=9．
（2）由（1）可得：f（x）=x³+6x²+9x+4．
f′（x）=3x²+12x+9=3（x+1）（x+3），
可知：x=-3時，函數(shù)f（x）取得極大值，f（-3）=4．
x=-1時，函數(shù)f（x）取得極小值，f（-1）=0．
∵方程f（x）=k有三個解，
∴0＜k＜4．
則k的取值范圍是0＜k＜4．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．