Question

18．已知點(diǎn)H（0，-8），點(diǎn)P在x軸上，動(dòng)點(diǎn)F滿足PF⊥PH，且PF與y軸交于點(diǎn)Q，Q為線段PF的中點(diǎn)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)F的軌跡E的方程；
（2）點(diǎn)D是直線l：x-y-2=0上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D作E的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，取線段AB的中點(diǎn)，連接DM交曲線E于點(diǎn)N，求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)F（x，y），用x，y表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，求出PF、PH的斜率，根據(jù)PF⊥PH列方程化簡即可；
（2）設(shè)AB方程為y=kx+b，聯(lián)立方程組得出A，B坐標(biāo)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程，從而求得D點(diǎn)坐標(biāo)，得出k，b的關(guān)系，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)F（x，y），∵Q是PF的中點(diǎn)，Q在y軸上，P在x軸上，
∴P（-x，0），又H（0，-8），∴k_PF=$\frac{y}{2x}$，k_PH=$\frac{8}{-x}$，
∵PF⊥PH，∴$\frac{y}{2x}•\frac{8}{-x}=-1$，即x²=4y．
∴動(dòng)點(diǎn)F的軌跡E的方程x²=4y．
（2）證明：設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，消去y得：x²-4kx-4b=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=4k}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-4b}\end{array}\right.$，且△=16k²+16b．
以點(diǎn)A為切點(diǎn)的切線的斜率為k_P=$\frac{1}{2}$x₁，其切線方程為y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），
即y=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}$x₁²，
同理過點(diǎn)Q的切線的方程為y=$\frac{1}{2}$x₂x-$\frac{1}{4}$x₂²，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}_{1}x-\frac{1}{4}{{x}_{1}}^{2}}\\{y=\frac{1}{2}{x}_{2}x-\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=2k}\\{y=k{x}_{1}-{y}_{1}=-b}\end{array}\right.$，
即D（2k，-b），∵D在直線x-y-2=0上，
∴2k-（-b）-2=0，即b=2-2k，
所以直線AB的方程y=kx+2-2k，即y=k（x-2）+2，顯然該直線恒過定點(diǎn)（2，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，著重考查直線方程與圓錐曲線方程的聯(lián)立及韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查化歸思想、方程思想與綜合運(yùn)算能力，屬于中檔題．