Question

（2008•寧波模擬）過點(diǎn)O引三條射線OA，OB，OC，已知∠AOB=θ，∠AOC=β，∠BOC=α，且平面AOB⊥平面BOC，則有（　　）

A．cosα=cosθ?cosβ

B．cosβ=cosθ?cosα

C．sinα=sinθ?sinβ

D．sinβ=sinθ?sinα

Answer 1

分析：根據(jù)平面AOB⊥平面BOC，我們可以構(gòu)造直角三角形，不妨設(shè)A′B垂直平面BOC，C′B垂直平面AOB．則∠A′BO=90°，∠C′BO=90°，從而在直角三角形中，利用三角函數(shù)表示出相應(yīng)的邊，根據(jù)余弦定理：OA′²+OC′²-A′C′²=2OA′×OC′×cosβ，AC′²=A′B²+BC′²，將相應(yīng)的邊代入化簡(jiǎn)即可．

解答：解：平面AOB⊥平面BOC，我們?cè)O(shè)A′B垂直平面BOC′，C′B垂直平面AOB′．
則∠A′BO=90°，∠C′BO=90°，∠A′OB=θ，∠A′OC′=β，∠BOC′=α
那么就有：OB=OA′cosθ=OC′cosα．A′B=OA′sinθ，BC′=OC′sinα．
根據(jù)余弦定理：OA′²+OC′²-A′C′²=2OA′×OC′×cosβ，AC′²=A′B²+BC′²
所以：OA′²+0C′²-[（OA′sinθ）²+（OC′sinα）²]=2OA′×OC′×cosβ…（*）
∵OB=OA′cosθ=OC′cosα
∴OA′=

OC′cosα

cosθ

，代入（*）中．可以得到：
cosβ=cosθcosα
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題以面面垂直為載體，考查余弦定理的運(yùn)用，考查勾股定理，屬于中檔題．