Question

已知函數(shù)f（x）=2x²-2ax+3在區(qū)間[-1，1]上有最小值，記作g（a）
（1）求g（a）的表達式
（2）作出g（a）的圖象并根據(jù)圖象求出g（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）給出的函數(shù)是二次函數(shù)，求出其對稱軸方程，分對稱軸在給定的區(qū)間左側(cè)，右側(cè)及在區(qū)間內(nèi)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出其在不同區(qū)間內(nèi)的最大值，然后寫成分段函數(shù)的形式；
（2）分段作出函數(shù)g（a）的圖象，由圖象直接看出g（a）的最大值．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=2x²-2ax+3的對稱軸為x=

a

2

，且x∈[-1，1]．
①當(dāng)

a

2

≤-1，即a≤-2時，f（x）_min=f（-1）=5+2a，即g（a）=5+2a．
②當(dāng)-1＜

a

2

＜1，即-2＜a＜2時，f(x)min=f(

a

2

)=3-

a2

2

，即g(a)=3-

a2

2

．
③當(dāng)

a

2

≥1，即a≥2時，f（x）_min=f（1）=5-2a，即g（a）=5-2a．
綜①②③得：g(a)=

5+2a    a≤-2 3- a2 2     -2＜a＜2 5-2a    a≥2

．
（2）g（a）的圖象如圖，

由圖可知，當(dāng)a=0時，g（a）有最大值3．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論求二次函數(shù)在不同區(qū)間上的最值，須注意的是分段函數(shù)的值域要分段求，此題是基礎(chǔ)題．