【題目】已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,y∈R時(shí),恒有f(x+y)=f(x)+f(y).當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0
(1)求證:f(x)是奇函數(shù);
(2)若 ,試求f(x)在區(qū)間[﹣2,6]上的最值;
(3)是否存在m,使f(2( )2﹣4)+f(4m﹣2( ))>0對(duì)任意x∈[1,2]恒成立?若存在,求出實(shí)數(shù)m的取值范圍;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)解:令x=0,y=0,則f(0)=2f(0),
∴f(0)=0.令y=﹣x,則f(0)=f(x)+f(﹣x),
∴﹣f(x)=f(﹣x),即f(x)為奇函數(shù)
(2)解:任取x1,x2∈R,且x1<x2
∵f(x+y)=f(x)+f(y),
∴f(x2)﹣f(x1)=f(x2﹣x1),
∵當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0,且x1<x2,
∴f(x2﹣x1)>0,
即f(x2)>f(x1),
∴f(x)為增函數(shù),
∴當(dāng)x=﹣2時(shí),函數(shù)有最小值,f(x)min=f(﹣2)=﹣f(2)=﹣2f(1)=﹣1.
當(dāng)x=6時(shí),函數(shù)有最大值,f(x)max=f(6)=6f(1)=3
(3)解:∵函數(shù) f(x)為奇函數(shù),
∴不等式 可化為 ,
又∵f(x)為增函數(shù),∴ ,
令t=log2x,則0≤t≤1,
問題就轉(zhuǎn)化為2t2﹣4>2t﹣4m在t∈[0,1]上恒成立,
即4m>﹣2t2+2t+4對(duì)任意t∈[0,1]恒成立,
令y=﹣2t2+2t+4,只需4m>ymax,
而 (0≤t≤1),
∴當(dāng) 時(shí), ,則 .
∴m的取值范圍就為
【解析】(1)在給出的等式中取x=y=0,求得f(0)=0,再取y=﹣x可證明f(x)是奇函數(shù);(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義,借助于已知等式證明函數(shù)f(x)為增函數(shù),從而求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最值;(3)由奇偶性把給出的不等式變形,然后利用單調(diào)性去掉“f”,換元后利用分離變量法求m的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和指、對(duì)數(shù)不等式的解法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;指數(shù)不等式的解法規(guī)律:根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化;對(duì)數(shù)不等式的解法規(guī)律:根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化才能正確解答此題.
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【題目】如圖,已知橢圓C: ,點(diǎn)A,B分別是左、右頂點(diǎn),過右焦點(diǎn)F的直線MN(異于x軸)交于橢圓C于M、N兩點(diǎn).
(1)若橢圓C過點(diǎn),且右準(zhǔn)線方程為,求橢圓C的方程;
(2)若直線BN的斜率是直線AM斜率的2倍,求橢圓C的離心率.
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【題目】已知R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ax﹣a﹣x+2(a>0,且a≠1),若g(2)=a,則f(2)的值為(
A.
B.2
C.
D.a2
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【題目】如圖(1)五邊形中,
,將沿折到的位置,得到四棱錐,如圖(2),點(diǎn)為線段的中點(diǎn),且平面.
(1)求證:平面平面;
(2)若四棱柱的體積為,求四面體的體積.
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【題目】擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子,在已知它們的點(diǎn)數(shù)不同的條件下,有一顆是6點(diǎn)的概率是 .
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【題目】定義:若兩個(gè)二次曲線的離心率相等,則稱這兩個(gè)二次曲線相似.如圖,橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,右頂點(diǎn)為A,以其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)B1 , B2及其一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是邊長為6的正三角形,M是C上異于B1 , B2的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),△MB1B2的重心為G,G點(diǎn)的軌跡記為C1 .
(1)(i)求C的方程;
(ii)求證:C1與C相似;
(2)過B1點(diǎn)任作一直線,自下至上依次與C1、x軸的正半軸、C交于不同的四個(gè)點(diǎn)P,Q,R,S,求 的取值范圍.
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【題目】《漢字聽寫大會(huì)》不斷創(chuàng)收視新高,為了避免“書寫危機(jī)”弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化,某市對(duì)全市10萬名市民進(jìn)行了漢字聽寫測試,調(diào)查數(shù)據(jù)顯示市民的成績服從正態(tài)分布.現(xiàn)從某社區(qū)居民中隨機(jī)抽取50名市民進(jìn)行聽寫測試,發(fā)現(xiàn)被測試市民正確書寫漢字的個(gè)數(shù)全部在160到184之間,將測試結(jié)果按如下方式分成六組:第一組,第二組,…,第六組,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)試評(píng)估該社區(qū)被測試的50名市民的成績在全市市民中成績的平均狀況及這50名市民成績在172個(gè)以上(含172個(gè))的人數(shù);
(2)在這50名市民中成績在172個(gè)以上(含172個(gè))的人中任意抽取2人,該2人中成績排名(從高到低)在全市前130名的人數(shù)記為,求的數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):若~,則, , .
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【題目】已知函數(shù)圖象在點(diǎn)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線斜率為3.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若,且對(duì)任意恒成立,求的最大值.
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【題目】年袁隆平的超級(jí)雜交水稻再創(chuàng)畝產(chǎn)量世界紀(jì)錄,為了測試水稻生長情況,專家選取了甲、乙兩塊地,從這兩塊地中隨機(jī)各抽取株水稻樣本,測量他們的高度,獲得的高度數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示:
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪塊田的平均高度較高;
(2)計(jì)算甲乙兩塊地株高方差;
(3)現(xiàn)從乙地高度不低于的樣本中隨機(jī)抽取兩株,求高度為的樣本被抽中的概率.
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