20.已知函數(shù)f(x)=sin x+cos x,f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f(x)=2f′(x),則$\frac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{11}{6}$.

分析 根據(jù)題意,對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得f′(x)=cosx-sinx,結(jié)合題意可得sin x+cos x=2(cosx-sinx),變形可得tanx=$\frac{1}{3}$,由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式分析可得$\frac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{2ta{n}^{2}x+1}{1-tanx}$,將tanx=$\frac{1}{3}$代入計(jì)算可得答案.

解答 解:根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=sin x+cos x,則f′(x)=cosx-sinx,
又由f(x)=2f′(x),即sin x+cos x=2(cosx-sinx),
變形可得cosx=3sinx,即tanx=$\frac{1}{3}$,
$\frac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{2si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{2ta{n}^{2}x+1}{1-tanx}$,
又由tanx=$\frac{1}{3}$,
則$\frac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{2si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{2ta{n}^{2}x+1}{1-tanx}$=$\frac{11}{6}$;
故答案為:$\frac{11}{6}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值以及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,關(guān)鍵是對(duì)$\frac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$的化簡(jiǎn)變形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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