Question

20．已知函數(shù)f（x）=sin x+cos x，f′（x）是f（x）的導函數(shù)．若f（x）=2f′（x），則$\frac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{11}{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，對函數(shù)f（x）求導可得f′（x）=cosx-sinx，結(jié)合題意可得sin x+cos x=2（cosx-sinx），變形可得tanx=$\frac{1}{3}$，由同角三角函數(shù)的基本關系式分析可得$\frac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{2ta{n}^{2}x+1}{1-tanx}$，將tanx=$\frac{1}{3}$代入計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=sin x+cos x，則f′（x）=cosx-sinx，
又由f（x）=2f′（x），即sin x+cos x=2（cosx-sinx），
變形可得cosx=3sinx，即tanx=$\frac{1}{3}$，
$\frac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{2si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{2ta{n}^{2}x+1}{1-tanx}$，
又由tanx=$\frac{1}{3}$，
則$\frac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{2si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$=$\frac{2ta{n}^{2}x+1}{1-tanx}$=$\frac{11}{6}$；
故答案為：$\frac{11}{6}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值以及導數(shù)的計算，關鍵是對$\frac{1+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-sinxcosx}$的化簡變形．