Question

5．已知t＞0，關(guān)于x的方程$\sqrt{2}-|x|=\sqrt{t-{x^2}}$，則這個方程的實數(shù)的個數(shù)是（　�。�

• A． 0或2
• B． 0或2或3或4
• C． 0或2或4
• D． 0或1或2或3或4

Answer 1

分析 因為關(guān)于x的方程$\sqrt{2}-|x|=\sqrt{t-{x^2}}$等號兩邊均為正數(shù)，轉(zhuǎn)化為C₁：y=|x|-$\sqrt{2}$，C₂：y=-$\sqrt{t-{x}^{2}}$的圖象的交點問題，可通過在同一坐標(biāo)系中做出函數(shù)C₁：y=|x|-$\sqrt{2}$，C₂：y=-$\sqrt{t-{x}^{2}}$，的圖象，通過判斷圖象交點個數(shù)來判斷方程的相異實根根數(shù)．

解答 解：令C1：y=|x|-$\sqrt{2}$，C2：y=-$\sqrt{t-{x}^{2}}$，
由于y=|x|-$\sqrt{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{2}，x≥0}\\{-x-\sqrt{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
方程y=-$\sqrt{t-{x}^{2}}$平方得：x²+y²=t，（y≤0），
畫出它們的圖象，如圖所示，一個是折線，一個是半個圓．
當(dāng)圓心（0，0）到直線y=x-$\sqrt{2}$的距離等于半徑時，
即$\frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=1=$\sqrt{t}$時，t=1；
當(dāng)圓經(jīng)過點（0，-$\sqrt{2}$）時，0²+（-$\sqrt{2}$）²=t，⇒t=2．
利用數(shù)形結(jié)合知：當(dāng)0＜t＜1或t＞2時，方程無實數(shù)根；
當(dāng)t=1時，方程有2個實數(shù)根；
當(dāng)t=2時，方程有3個實數(shù)根；
當(dāng)1＜t＜2時，方程有4個實數(shù)根．
綜合，則這個方程實根的個數(shù)情況是 0或2或3或4．
故選：B．

點評 本題主要考查圖象法判斷方程的實根個數(shù)，關(guān)鍵是畫出兩個函數(shù)的圖象．