Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是圓O：x²+y²=1與x軸正半軸的交點(diǎn)，半徑OA在x軸的上方，現(xiàn)將半徑OA繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{3}$得到半徑OB．設(shè)∠POA=x（0＜x＜π），$f（x）=（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）•\overrightarrow{OP}$．
（1）若$x=\frac{π}{2}$，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值，并求此時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可．
（2）$f（x）=（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）•\overrightarrow{OP}$，求出f（x）的解析式，化簡，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答 解：（1）由題意，因點(diǎn)P是圓O：x²+y²=1與x軸正半軸的交點(diǎn)，又$x=\frac{π}{2}$，
且半徑OA繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{3}$得到半徑OB，
∴$∠POB=\frac{5π}{6}$．
由三角函數(shù)的定義，得$\frac{x_B}{1}=cos\frac{5π}{6}$，$\frac{y_B}{1}=sin\frac{5π}{6}$，
解得${x_B}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，${y_B}=\frac{1}{2}$．
∴$B（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$．
（2）依題意，$\overrightarrow{OP}=（1，0）$，$\overrightarrow{OA}=（cosx，sinx）$，$\overrightarrow{OB}=（cos（x+\frac{π}{3}），sin（x+\frac{π}{3}））$，
由$f（x）=（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）•\overrightarrow{OP}$，
∴$f（x）=cos（x+\frac{π}{3}）+cosx=\frac{3}{2}cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx$，
∴$f（x）=\sqrt{3}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx-\frac{1}{2}sinx）=-\sqrt{3}sin（x-\frac{π}{3}）$，
∵0＜x＜π，
則$-\frac{π}{3}＜x-\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，
∴當(dāng)$x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$時(shí)，即$x=\frac{5π}{6}$，
函數(shù)f（x）取最小值為$-\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的定義和性質(zhì)的運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．