Question

11．已知拋物線y²=8x的準線過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一個焦點，則當$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$取得最小值時，雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線和雙曲線的方程求出c=2，再根據(jù)基本不等式求出a的值，根據(jù)離心率計算即可．

解答 解：拋物線y²=8x的準線為x=-2，
由題意可得c=2，
∴a²+b²=4，
∴$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$）（a²+b²）=$\frac{1}{4}$（4+1+$\frac{4^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$）≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{4^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{a}^{2}}{^{2}}}$）=$\frac{9}{4}$，當且僅當a²=2b²，即a=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$時取等號，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$

點評 本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質(zhì)，雙曲線的標準方程，以及基本不等式，屬于中檔題