Question

8．在直角坐標(biāo)系中xOy中，已知曲線E經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），其參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=acosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求曲線E的極坐標(biāo)方程；
（2）若直線l交E于點(diǎn)A、B，且OA⊥OB，求證：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)P（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），代入曲線E的方程，求出a²=3，可得曲線E的普通方程，即可求曲線E的極坐標(biāo)方程；
（2）利用點(diǎn)的極坐標(biāo)，代入極坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）將點(diǎn)P（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），代入曲線E的方程：$\left\{\begin{array}{l}{1=acosα}\\{\frac{2\sqrt{3}}{3}=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$，
解得a²=3，
所以曲線E的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
極坐標(biāo)方程為${ρ}^{2}（\frac{1}{3}co{s}^{2}θ+\frac{1}{2}si{n}^{2}θ）$=1；
（2）不妨設(shè)點(diǎn)A，B的極坐標(biāo)分別為A（ρ₁，θ），B（ρ₂，$θ+\frac{π}{2}$），
則代入曲線E的極坐標(biāo)方程，可得$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$，
即$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$為定值$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線方程，考查極坐標(biāo)方程的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．