Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，滿足關(guān)系3S_n-5S_n-1=3（n≥2）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{2x+3}{3x}$，作數(shù)列{b_n}，使b₁=1，${b_n}=f（\frac{1}{{{b_{n-1}}}}）$．（n≥2）求b_n的通項(xiàng)公式
（3）求T_n=（b₁b₂-b₂b₃）+（b₃b₄-b₄b₅）+…+（b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1）的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件，推出數(shù)列是等比數(shù)列，然后求解通項(xiàng)公式．
（2）利用函數(shù)關(guān)系式，求出數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，然后求出通項(xiàng)公式．
（3）利用等差數(shù)列轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}3{S_n}-5{S_n}_{-1}=3\\ 3{S_{n+1}}-5{S_n}=3\end{array}\right.（n≥2）$，兩式相減得3a_n+1-5a_n=0，
又∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{5}{3}（n≥2）$，又當(dāng)n=2時(shí)，3S₂-5S₁=3，
得${a_2}=\frac{5}{3}$，即$\frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{3}$，∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{5}{3}（n≥1）$，
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列${a_n}={（\frac{5}{3}）^{n-1}}$            …（4分）
（2）由已知得$f（x）=\frac{2x+3}{3x}$，∴${b_n}=f（\frac{1}{{{b_{n-1}}}}）=\frac{{\frac{2}{{{b_{n-1}}}}+3}}{{\frac{3}{{{b_{n-1}}}}}}={b_{n-1}}+\frac{2}{3}（n≥2）$，
∴數(shù)列{b_n}是以b₁=1為首項(xiàng)，$\frac{2}{3}$為公差的等差數(shù)列．
∴${b_n}=\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}$…（8分）
（3）T_n=（b₁b₂-b₂b₃）+（b₃b₄-b₄b₅）+…+（b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1）
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=$-2d（{b_2}+{b_4}+…+-{b_{2n}}）=-2×\frac{2}{3}[{n×\frac{5}{3}+\frac{n（n-1）}{2}×\frac{4}{3}}]$=$-\frac{8}{9}{n^2}-\frac{4}{3}n$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化思想以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．