已知函數(shù)()
(1)當(dāng)a=2時,求在區(qū)間[e,e2]上的最大值和最小值;
(2)如果函數(shù)、、在公共定義域D上,滿足<<,那么就稱為、的“伴隨函數(shù)”.已知函數(shù),,若在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)是、的“伴隨函數(shù)”,求a的取值范圍。
(1)的最大值為f(e2)=4e4+lne2=2+4e4,最小值為f(e)=2e2+lne=1+2e2;
(2).
解析試題分析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問,對求導(dǎo),判斷函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)遞增,則在區(qū)間2個端點(diǎn)處取得最大值和最小值;第二問,由新定義將題目轉(zhuǎn)化為,在(1,+∞)上恒成立,對求導(dǎo),對的根進(jìn)行討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出最大值,令最大值小于0,同理,對求導(dǎo),求最大值,需要注意如果最大值能夠取到,則最大值小于0,若最大值取不到,則最大值小于等于0.
(1)當(dāng)a=2時,,則
當(dāng)x∈[e,e2]時,,即此時函數(shù)單調(diào)遞增,
∴的最大值為f(e2)=4e4+lne2=2+4e4,最小值為f(e)=2e2+lne=1+2e2. 4分
(2)若在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)是、的“伴隨函數(shù)”,
即<<,令在(1,+∞)上恒成立,在(1,+∞)上恒成立,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/46/0/r8aq3.png" style="vertical-align:middle;" />
①若,由得
當(dāng),即時,在(x2,+∞)上,有,此時函數(shù)單調(diào)遞增,并且在該區(qū)間上有,不合題意.
當(dāng)x2<x1=1,即a≥1時,同理可知在區(qū)間(1,+∞)上,有,不合題意.
②若a≤,則有2a 1≤0,此時在區(qū)間(1,+∞)上,有p'(x)<0,此時函數(shù)p(x)單調(diào)遞減,要使p(x)<0恒成立,只需要滿足,即可
此時, 9分
又,則h(x)在(1,+∞)上為減函數(shù),則h(x)<h(1)=,所以 11分
即a的取值范圍是。 12分
考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),且.
(1)求的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)函數(shù),若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3x+1.
(1)設(shè)a=2,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)f(x)在區(qū)間(2,3)中至少有一個極值點(diǎn),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在上的最小值為3,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)若函數(shù)的圖象切x軸于點(diǎn)(2,0),求a、b的值;
(2)設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率為k,試求的充要條件;
(3)若函數(shù)的圖象上任意不同的兩點(diǎn)的連線的斜率小于l,求證.
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已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x
(1)在處的切線平行于直線,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求過原點(diǎn)的切線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中且m為常數(shù).
(1)試判斷當(dāng)時函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,并證明;
(2)設(shè)函數(shù)在處取得極值,求的值,并討論函數(shù)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中為實(shí)數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值;
(2)若對一切的實(shí)數(shù),有恒成立,其中為的導(dǎo)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知某工廠生產(chǎn)件產(chǎn)品的成本為(元),
問:(1)要使平均成本最低,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?
(2)若產(chǎn)品以每件500元售出,要使利潤最大,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?
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