Question

3．已知雙曲線(xiàn)${C_1}：\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$與雙曲線(xiàn)${C_2}：\frac{x^2}{2}-{y^2}=-1$，給出下列說(shuō)法，其中錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． 它們的焦距相等
• B． 它們的焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上
• C． 它們的漸近線(xiàn)方程相同
• D． 它們的離心率相等

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由兩個(gè)雙曲線(xiàn)的方程計(jì)算出兩個(gè)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)、焦距、漸進(jìn)性方程以及離心率，進(jìn)而分析選項(xiàng)即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線(xiàn)${C_1}：\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$，其中a=$\sqrt{2}$，b=1，則c=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，
則其焦距2c=2$\sqrt{3}$，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±$\sqrt{3}$，0），漸進(jìn)線(xiàn)為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
雙曲線(xiàn)${C_2}：\frac{x^2}{2}-{y^2}=-1$，其標(biāo)準(zhǔn)方程為y²-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1，其中a=1，b=$\sqrt{2}$，則c=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，
則其焦距2c=2$\sqrt{3}$，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±$\sqrt{3}$），漸進(jìn)線(xiàn)為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$；
據(jù)此依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A、兩個(gè)雙曲線(xiàn)的焦距都為2$\sqrt{3}$，A正確；
對(duì)于B、雙曲線(xiàn)C₁焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±$\sqrt{3}$，0），雙曲線(xiàn)C₂焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±$\sqrt{3}$），都在圓x²+y²=3上，B正確；
對(duì)于C、兩個(gè)雙曲線(xiàn)的漸進(jìn)線(xiàn)為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，C正確；
對(duì)于D、雙曲線(xiàn)C₁離心率為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，雙曲線(xiàn)C₂的離心率為$\sqrt{3}$，不正確；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意將雙曲線(xiàn)的方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程．