Question

19．已知f（x）=$\frac{a{x}^{2}+x+1}{x}$在[2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{a{x}^{2}+x+1}{x}$=ax+$\frac{1}{x}$+1，
函數(shù)的導數(shù)f′（x）=a-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴f′（x）=a-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0在[2，+∞）上恒成立，
即a≥$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵$\frac{1}{{x}^{2}}$≤$\frac{1}{4}$，
∴a≥$\frac{1}{4}$，
即實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，+∞），
故答案為：[$\frac{1}{4}$，+∞）

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用，求函數(shù)的導數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．