Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c，
①函數(shù)f（x）在R上有最小值；
②當(dāng)b＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱(chēng)；
④當(dāng)b＜0時(shí)，方程f（x）=0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根的充要條件是b²＞4|c|．
則上述命題中所有正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,閱讀型,分類(lèi)討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①當(dāng)b＜0時(shí)，可以根據(jù)函數(shù)的值域加以判斷函數(shù)f（x）在R上是否有最小值；
②當(dāng)b＞0時(shí)，把函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c分x≥0和x＜0兩種情況討論，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求單調(diào)性；
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱(chēng)，可以根據(jù)函數(shù)圖象的平移解決；
④當(dāng)b＜0時(shí)，方程f（x）=0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，考慮函數(shù)f（x）與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，如圖，其充要條件是函數(shù)y=f（x）的極大值大于0且極小值小于0，即可得到結(jié)論．

解答： 解：對(duì)于①，當(dāng)b＜0時(shí)，f（x）=|x|x+bx+c
=

x2+bx+c，x≥0 -x2+bx+c，x＜0

，值域是R，
故函數(shù)f（x）在R上沒(méi)有最小值，則①錯(cuò)；
對(duì)于②，當(dāng)b＞0時(shí)，f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c，x≥0 -x2+bx+c，x＜0

，
知函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，則②對(duì)；
對(duì)于③，若f（x）=|x|x+bx，
那么函數(shù)f（x）是奇函數(shù)（f（-x）=-f（x）），
也就是說(shuō)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（0，0）對(duì)稱(chēng)．
而函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c的圖象是由函數(shù)f（x）=|x|x+bx的圖象沿y軸移動(dòng)，故圖象一定是關(guān)于（0，c）對(duì)稱(chēng)的，則③對(duì)；
對(duì)于④，當(dāng)b＜0時(shí)，方程f（x）=0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
考慮函數(shù)f（x）與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，如圖，
其充要條件是函數(shù)y=f（x）的極大值大于0且極小值小于0，
即

4c-b2

4

＜0，

-4c-b2

-4

＞0，即有b²＞4c且b²＞-4c，即有b²＞4|c|成立，
則④對(duì)．
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性和最值等問(wèn)題，對(duì)于含有絕對(duì)值的一類(lèi)問(wèn)題，通常采取去絕對(duì)值的方法解決，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想；函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的奇偶性加以分析，再根據(jù)函數(shù)圖象的平移解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)思想；對(duì)于存在性的命題研究，一般通過(guò)特殊值法來(lái)解決．