Question

【題目】如圖,港口A在港口O的正東100海里處,在北偏東方向有條直線航道OD,航道和正東方向之間有一片以B為圓心,半徑為海里的圓形暗礁群（在這片海域行船有觸礁危險(xiǎn)）,其中OB＝海里,tan∠AOB＝,cos∠AOD＝,現(xiàn)一艘科考船以海里/小時(shí)的速度從O出發(fā)沿OD方向行駛,經(jīng)過(guò)2個(gè)小時(shí)后,一艘快艇以50海里/小時(shí)的速度準(zhǔn)備從港口A出發(fā),并沿直線方向行駛與科考船恰好相遇.

（1）若快艇立即出發(fā),判斷快艇是否有觸礁的危險(xiǎn),并說(shuō)明理由；

（2）在無(wú)觸礁危險(xiǎn)的情況下,若快艇再等x小時(shí)出發(fā),求x的最小值.

Answer 1

【答案】（1）快艇立即出發(fā)有觸礁的危險(xiǎn),見(jiàn)解析；（2）3－

【解析】

(1) 以O為原點(diǎn),正東方向?yàn)?/span>x軸,正北方向?yàn)?/span>y軸,建立直角坐標(biāo)系xOy.再設(shè)設(shè)快艇立即出發(fā)經(jīng)過(guò)t小時(shí)后兩船相遇于點(diǎn)C, 根據(jù)余弦定理可解得,繼而得出直線AC的方程,判斷出圓心到直線AC的距離小于半徑,即可知有危險(xiǎn).

(2) 設(shè)快艇所走的直線與圓B相切,且與科考船相遇于點(diǎn)E.根據(jù)圓心B到直線AC的距離為可求得直線OD的方程為y＝2x.進(jìn)而聯(lián)立方程可求得E(50,100),再計(jì)算兩船的時(shí)間差即可得x的最小值.

如圖,以O為原點(diǎn),正東方向?yàn)?/span>x軸,正北方向?yàn)?/span>y軸,建立直角坐標(biāo)系xOy.

因?yàn)?/span>OB＝20,tan∠AOB＝,OA＝100,所以點(diǎn)B(60,40),且A(100,0).

（1）設(shè)快艇立即出發(fā)經(jīng)過(guò)t小時(shí)后兩船相遇于點(diǎn)C,則OC＝10(t＋2),AC＝50t.

因?yàn)?/span>OA＝100,cos∠AOD＝,所以AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC·cos∠AOD,

即(50t)2＝1002＋[10(t＋2)]2－2×100×10(t＋2)×.化得t2＝4,解得t1＝2,t2＝－2（舍去）,

所以OC＝40,因?yàn)?/span>cos∠AOD＝,所以sin∠AOD＝,所以C(40,80),

所以直線AC的方程為y＝－(x－100),即4x＋3y－400＝0.

因?yàn)閳A心B到直線AC的距離d＝＝8,而圓B的半徑r＝8,

所以d＜r,此時(shí)直線AC與圓B相交,所以快艇有觸礁的危險(xiǎn).

答：若快艇立即出發(fā)有觸礁的危險(xiǎn).

（2）設(shè)快艇所走的直線與圓B相切,且與科考船相遇于點(diǎn)E.

設(shè)直線的方程為y＝k(x－100),即kx－y－100k＝0.

因?yàn)橹本�AE與圓B相切,所以圓心B到直線AC的距離d＝＝,

即2k2＋5k＋2＝0,解得k＝－2或k＝－. 由（1）可知k＝－舍去.

因?yàn)?/span>cos∠AOD＝,所以tan∠AOD＝2,所以直線OD的方程為y＝2x.

由解得所以E(50,100), 所以AE＝50,OE＝50,

此時(shí)兩船的時(shí)間差為－＝5－,所以x≥5－－2＝3－.

x的最小值為小時(shí).