【題目】設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為,若存在函數(shù)使得對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)的任意都有,則稱函數(shù)為函數(shù)的“Inverse”函數(shù).
(1)判斷下列哪個(gè)函數(shù)是函數(shù)的“Inverse”函數(shù)并說(shuō)明理由.
①;②;
(2)設(shè)函數(shù)存在反函數(shù),證明函數(shù)存在唯一的“Inverse”函數(shù)的充要條件是函數(shù)的值域?yàn)?/span>;
(3)設(shè)函數(shù)存在反函數(shù),函數(shù)為的一個(gè)“Inverse”函數(shù),記,其中,若對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)的任意都有,求所有滿足條件的函數(shù)的解析式.
【答案】(1)②是函數(shù)f(x)=log2x的“Inverse”函數(shù),理由見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3).
【解析】
(1)分別判斷①和②是否滿足即可得到結(jié)果;
(2)先證充分性,若函數(shù)的值域?yàn)?/span>,設(shè)其定義域?yàn)?/span>D,則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,值域?yàn)?/span>D, 令,,判斷是否滿足,證明其存在性,再設(shè)函數(shù)和都為函數(shù)的“Inverse”函數(shù)且不相同,利用反證法證明唯一性;再證必要性,若函數(shù)存在唯一的“Inverse”函數(shù),同樣利用反證法,假設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?/span>,令,,通過(guò)證明函數(shù)和都為函數(shù)的“Inverse”函數(shù)且不相同,這與唯一性矛盾,從而得證;
(3)由(2)知,是的一個(gè)“Inverse”函數(shù),易得,,即,根據(jù)一一對(duì)應(yīng)的性質(zhì)可得,所以.
(1)易得,對(duì)于①,,故①不是,
對(duì)于②,,故②是函數(shù)的“Inverse”函數(shù);
(2)先證充分性,若函數(shù)的值域?yàn)?/span>,設(shè)其定義域?yàn)?/span>D,
則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,值域?yàn)?/span>D,
令,,
則對(duì)任意都有,,
故函數(shù)為函數(shù)的“Inverse”函數(shù),存在性得證;
設(shè)函數(shù)和都為函數(shù)的“Inverse”函數(shù)且不相同,
則存在,,,且,因?yàn)?/span>的值域?yàn)?/span>,
故存在,使得,即,,
則,矛盾,故唯一性得證.
所以函數(shù)存在唯一的“Inverse”函數(shù).
再證必要性,若函數(shù)存在唯一的“Inverse”函數(shù),
即存在唯一的函數(shù)滿足,下面用反證法證明必要性.
假設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?/span>,
令,,
則對(duì)任意都有,,
且,,
函數(shù)和都為函數(shù)的“Inverse”函數(shù)且不相同,這與唯一性矛盾,
所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>,必要性得證.
綜上,函數(shù)存在唯一的“Inverse”函數(shù)的充要條件是函數(shù)的值域?yàn)?/span>;
(3)由(2)知,是的一個(gè)“Inverse”函數(shù),
由反函數(shù)的性質(zhì)可知,和都是一一對(duì)應(yīng)的.
則,
又,則,
即,根據(jù)一一對(duì)應(yīng)的性質(zhì)可得,
則,所以滿足條件的函數(shù)的解析式為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明:對(duì)任意.
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(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn),探究: 是否為定值,若是,求出該定值,若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.(其中, , 分別是直線、的斜率)
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【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式恒成立,求整數(shù)的最小值
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【題目】四棱錐中,側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形, 為的中點(diǎn), 為的中點(diǎn).
(1)求證: ;
(2)求與平面所成的角.
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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),其次品率與日產(chǎn)量 (萬(wàn)件)之間滿足關(guān)系, (其中為常數(shù),且,已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的產(chǎn)品以盈利2萬(wàn)元,但每生產(chǎn)1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元(注:次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量, 如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品,有1件次品,其余為合格品).
(1)試將生產(chǎn)這種產(chǎn)品每天的盈利額 (萬(wàn)元)表示為日產(chǎn)量 (萬(wàn)件)的函數(shù);
(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí),可獲得最大利潤(rùn)?
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【題目】如圖,在四棱錐,底面是平行四邊形,,底面,,,,分別為,的中點(diǎn),為線段的中點(diǎn).
(1)求證:面;
(2)求直線與平面所成的角.
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(2)某單位需購(gòu)買(mǎi)一批此類(lèi)品牌運(yùn)動(dòng)鞋作為員工福利,問(wèn):去哪家商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)花費(fèi)較少?
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