Question

如圖所示，PA⊥平面ABC，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，點(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在弧AB上，且OM∥AC.

(1)求證：平面MOE∥平面PAC.

(2)求證：平面PAC⊥平面PCB.

(3)設(shè)二面角M—BP—C的大小為θ，求cos θ的值．

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析 （3）

【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PA.

因?yàn)镻A?平面PAC，OE?平面PAC，

所以O(shè)E∥平面PAC.

因?yàn)镺M∥AC，

因?yàn)锳C?平面PAC，OM?平面PAC，

所以O(shè)M∥平面PAC.

因?yàn)镺E?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM＝O，

所以平面MOE∥平面PAC.

(2)因?yàn)辄c(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，

所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.

因?yàn)镻A⊥平面BAC，BC?平面ABC，

所以PA⊥BC.

因?yàn)锳C?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC＝A，

所以BC⊥平面PAC.

因?yàn)锽C?平面PCB，

所以平面PAC⊥平面PCB.

(3)如圖，以C為原點(diǎn)，CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz.

因?yàn)椤螩BA＝30°，PA＝AB＝2，

所以CB＝2cos 30°＝，AC＝1.

延長(zhǎng)MO交CB于點(diǎn)D.

因?yàn)镺M∥AC，

所以MD⊥CB，MD＝1＋＝，

CD＝CB＝.

所以P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0，，0)，M.

所以＝(1,0,2)，＝(0，，0)．

設(shè)平面PCB的法向量m＝(x，y，z)．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719485690885516/SYS201411171948594090494786_DA/SYS201411171948594090494786_DA.013.png">

所以，即

令z＝1，則x＝－2，y＝0.

所以m＝(－2,0,1)．

同理可求平面PMB的一個(gè)法向量n＝(1，，1)．

所以cos〈m，n〉＝＝－.

因?yàn)槎�面角M—BP—C為銳二面角，所以cos θ＝.