Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且滿足f（x+2）=-f（x）．
（1）求證：f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時，f(x)=

1

2

x，求當(dāng)x∈[-1，3）時，f（x）的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知等式f（x+2）=-f（x），用x+2替換x，結(jié)合函數(shù)周期性的定義和已知條件，不難得到f（x）是以4為一個周期的周期函數(shù)．
（2）根據(jù)函數(shù)在[0，1]上的表達(dá)式結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，可得當(dāng)-1≤x≤0時，f（x）=

1

2

x．再設(shè)1＜x≤3，則得f（x-2）=

1

2

（x-2）=-f（x）， 從而可得f（x）在區(qū)間（1，3]上的表達(dá)式，綜上所述，可得f（x）在[-1，3]的解析式．

解答： 解：（1）由題意可得：f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
故f（x）的周期為4，
（2）解  當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=

1

2

x，
設(shè)-1≤x≤0，則0≤-x≤1，∴f（-x）=

1

2

（-x）=-

1

2

x．
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-

1

2

x，即f（x）=

1

2

x．
故f（x）=

1

2

x（-1≤x≤1）
再設(shè)1＜x≤3，則-1＜x-2≤1，
∴f（x-2）=

1

2

（x-2），
又∵f（x-2）=-f（x），
∴-f（x）=

1

2

（x-2），
可得f（x）=-

1

2

（x-2）（1＜x≤3）．
綜上所述，f（x）在[-1，3]的解析式為：f（x）=

1 2 x，-1≤x≤1 - 1 2 (x-2)，1＜x≤3

點(diǎn)評：本題以分段函數(shù)為例，求函數(shù)的周期并求函數(shù)的解析式，著重考查了函數(shù)的奇偶性、周期性，屬于基礎(chǔ)題．