Question

【題目】已知n為正整數(shù)，數(shù)列{an}滿足an＞0， ，設(shè)數(shù)列{bn}滿足
（1）求證：數(shù)列 為等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值；
（3）若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn ， 對(duì)任意的n∈N* ， 均存在m∈N* ， 使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求滿足條件的所有整數(shù)a1的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵數(shù)列{an}滿足an＞0， ，

∴ =4 ，∴ =2 ，

∴數(shù)列 為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a1，公比為2

（2）解：由（1）可得： =a12n﹣1，

an= ， = ．

∵數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，∴2b2=b1+b3，

∴ = + ，

解得t=4或12．

t=4時(shí)，bn= = ，是關(guān)于n的一次函數(shù)，因此數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．

t=12時(shí)，bn= ，bn+1﹣bn= ，不是關(guān)于n的一次函數(shù)，

因此數(shù)列{bn}不是等差數(shù)列．

綜上可得t=4

（3）解：由（2）得bn= ，

對(duì)任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，

即有8a14 n（1+n）﹣a14n2=16 ，

化簡(jiǎn)可得m= ，

當(dāng)a1=2k，k∈N*，m= =nk2，對(duì)任意的n∈N*，符合題意；/span>

當(dāng)a1=2k﹣1，k∈N*，當(dāng)n=1時(shí)，m= = =k2﹣k+ ，

對(duì)任意的n∈N*，不符合題意．

綜上可得，當(dāng)a1=2k，k∈N*，對(duì)任意的n∈N*，均存在m∈N*，

使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立

【解析】（1）由題意整理可得， =2 ，再由等比數(shù)列的定義即可得證；（2）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，可得2b2=b1+b3 ， 解方程可得t，對(duì)t的值，檢驗(yàn)即可得到所求值；（3）由（2）可得bn= ，對(duì)任意的n∈N* ， 均存在m∈N* ， 使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，即有8a14 n（1+n）﹣a14n2=16 ，討論a1為偶數(shù)和奇數(shù)，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求值．
【考點(diǎn)精析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知在等差數(shù)列{an}中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．