Question

已知數列{a_n}滿足a₁=-3，且2a_n+1a_n+a_n+1+4a_n+3=0（n∈N^*），記b_n=

1

an+1

（n∈N^*）．
（1）求證：數列{b_n+2}為等比數列，并求數列{b_n}的通項公式；
（2）設數列{

1

2nanbn

}的前n項和S_n，求證：S_n＜

2

3

．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由bn=

1

an+1

，得an=

1

bn

-1，從而an+1=

1

bn+1

-1．由此能證明數列{b_n+2}為等比數列，并能求出數列{b_n}的通項公式．
（2）由bn=

1

an+1

，得anbn=1-bn=3-

3

2n

，從而

1

2nanbn

=

1

3×2n-3

，進而

1

2nanbn

＜

1

3×2n-1

，由此能證明S_n＜

2

3

．

解答： （1）證明：由bn=

1

an+1

，得an=

1

bn

-1，
從而an+1=

1

bn+1

-1．
代入條件中有：2(

1

bn+1

-1)(

1

bn

-1)+

1

bn+1

-1+4(

1

bn

-1)+3=0
整理得：bn+1=

1

2

bn-1，變形得bn+1+2=

1

2

(bn+2)，
又b1+2=

1

a1+1

+2=

3

2

≠0，
故數列{b_n+2}為等比數列．…（6分）
則bn+2=

3

2

×(

1

2

)n-1=

3

2n

，
故數列{b_n}的通項公式為bn=

3

2n

-2．…（9分）
（2）證明：由bn=

1

an+1

，得anbn=1-bn=3-

3

2n

，
則

1

2nanbn

=

1

3×2n-3

而3×2ⁿ-3=3（2^n-1+2^n-1-1）≥3×2^n-1，則

1

2nanbn

＜

1

3×2n-1

．
從而Sn=

1

2a1b1

+

1

22a2b2

+

1

23a3b3

+…+

1

2nanbn

＜

1

3

(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)
=

1 3 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

2

3

(1-

1

2n

)＜

2

3

．
故S_n＜

2

3

．…（14分）

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意放縮法的合理運用．