Question

20．已知A，B，C是單位圓上互不相同的三點，且滿足|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，則$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的最小值為（　　）

• A． -$\frac{1}{4}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{3}{4}$
• D． -1

Answer 1

分析 由題意可得，點A在BC的垂直平分線上，不妨設(shè)單位圓的圓心為O（0，0），點A（0，1），點B（x₁，y₁），則點C（-x₁，y₁），x₁²+y₁²=1，且-1≤y₁＜1．根據(jù) $\overrightarrow{AB}$=2y₁²-2y₁，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值．

解答 解：由題意可得，點A在BC的垂直平分線上，不妨設(shè)單位圓的圓心為O（0，0），
點A（0，1），點B（x₁，y₁），則點C（-x₁，y₁），
-1≤y₁＜1．
∴$\overrightarrow{AB}$=（x₁，y₁-1），$\overrightarrow{AC}$=（-x₁，y₁-1），x₁²+y₁²=1．
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-x₁²+y₁²-2y₁+1=-（1-y₁²）+y₁²-2y₁+1
=2y₁²-2y₁，
∴當y₁=$\frac{1}{2}$時，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$取得最小值為-$\frac{1}{2}$，
故選：B．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．