Question

16．在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)某10張券中有一等獎(jiǎng)券1張，可兌換現(xiàn)金50元，有二等獎(jiǎng)券3張，每張可兌換現(xiàn)金10元，其余6張券沒(méi)有獎(jiǎng)，某顧客從這10張券中任取2張，
（1）求該顧客中獎(jiǎng)的概率；
（2）求該顧客獲得現(xiàn)金總額ξ（元）的概率分布列；
（3）求該顧客獲得現(xiàn)金總額ξ（元）的數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）由題意知本題是一個(gè)古典概率，而顧客中獎(jiǎng)的對(duì)立事件是顧客不中獎(jiǎng)，從10張中抽2張有${∁}_{10}^{2}$種結(jié)果，抽到的不中獎(jiǎng)有${∁}_{6}^{2}$種結(jié)果，即可得出中獎(jiǎng)的概率P=1-$\frac{{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{10}^{2}}$．
（2）該顧客獲得現(xiàn)金總額ξ（元）的可能為0，10，20，50，60．則P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{10}^{2}}$，P（ξ=10）=$\frac{{∁}_{3}^{1}•{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{10}^{2}}$，P（ξ=20）=$\frac{{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{10}^{2}}$，P（ξ=50）=$\frac{{∁}_{1}^{1}•{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{10}^{2}}$，P（ξ=60）=$\frac{{∁}_{1}^{1}•{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{10}^{2}}$．
（3）由（2）即可得出E（ξ）．

解答 解：（1）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，
而顧客中獎(jiǎng)的對(duì)立事件是顧客不中獎(jiǎng)，從10張中抽2張有${∁}_{10}^{2}$種結(jié)果，抽到的不中獎(jiǎng)有${∁}_{6}^{2}$種結(jié)果，
∴中獎(jiǎng)的概率P=1-$\frac{{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{3}$．
（2）該顧客獲得現(xiàn)金總額ξ（元）的可能為0，10，20，50，60．則P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=10）=$\frac{{∁}_{3}^{1}•{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，P（ξ=20）=$\frac{{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，P（ξ=50）=$\frac{{∁}_{1}^{1}•{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{15}$，P（ξ=60）=$\frac{{∁}_{1}^{1}•{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{15}$．

ξ	0	10	20	50	60
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{15}$

∴EX=0+$10×\frac{2}{5}$+$20×\frac{1}{15}$+50×$\frac{2}{15}$+60×$\frac{1}{15}$=16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概率計(jì)算公式及其隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、對(duì)立事件的概率計(jì)算公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．