Question

已知命題P：

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（2t-t²）＞x²-3x+2；命題q：x²-3x+2＞3-t²，若?x∈[0，2]，都有“p∨q為假命題”成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：由p∨q為假命題得p，q都是假命題，所以命題p：對任意的x∈[0，2]，

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(2t-t2)≤x2-3x+2，所以求函數(shù)x²-3x+2在[0，2]上的最小值為-

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4

，所以便得到

1

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(2t-t2)≤-

1

4

    ①，同樣的方法得到命題q：3-t²≥2      ②，所以解不等式①②并求交集即得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：若?x∈[0，2]，都有“p∨q為假命題”成立，則p，q都是假命題，所以：
命題p：對?x∈[0，2]都有

1

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(2t-t2)≤x2-3x+2；
x2-3x+2=(x-

3

2

)2-

1

4

，∴函數(shù)x²-3x+2在[0，2]上的最小值為-

1

4

；
∴

1

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(2t-t2)≤-

1

4

，解得t≥1+

3

，或t≤1-

3

；
命題q：對?x∈[0，2]都有x²-3x+2≤3-t²；
x2-3x+2=(x-

3

2

)2-

1

4

，∴函數(shù)x²-3x+2在[0，2]上的最大值為2；
∴2≤3-t²，解得-1≤t≤1；
綜上得實(shí)數(shù)t的取值范圍為[-1，1-

3

]．

點(diǎn)評：考查p∨q的真假和p，q真假的關(guān)系，通過配方求二次函數(shù)最值的方法，以及解一元二次不等式．