Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為a，側(cè)棱是底面邊長的2倍，P是側(cè)棱CC₁上任一點．
（1）求證：不論P在側(cè)棱CC上何位置，總有BD⊥AP；
（2）若P是CC₁的中點，求二面角A-B₁P-B的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：計算題,作圖題,空間位置關(guān)系與距離

分析：作出題意中的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
（1）由題意可知，CC₁⊥BD，BD⊥AC，從而證明BD⊥平面ACC₁A₁，又由不論P在側(cè)棱CC上何位置，總有AP?平面ACC₁A₁，從而得證；
（2）證明∴△BCP與△B₁C₁P都是等腰直角三角形，從而證明BP⊥B₁P，從而得到∠BPA為二面角A-B₁P-B的平面角，在Rt△ABP中求二面角A-B₁P-B的正切值．

解答： 解：（1）證明：
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，
∴CC₁⊥BD，BD⊥AC，
又∵AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
又∵不論P在側(cè)棱CC上何位置，
總有AP?平面ACC₁A₁，
∴總有BD⊥AP．
（2）∵P是CC₁的中點，
又∵底面邊長為a，側(cè)棱是底面邊長的2倍，
∴△BCP與△B₁C₁P都是等腰直角三角形，
∴BP⊥B₁P，
又∵AB⊥平面BCC₁B₁，
∴∠BPA為二面角A-B₁P-B的平面角；
在Rt△ABP中，
AB=a，BP=

2

a，
則tan∠BPA=

AB

BP

=

2

2

．
故二面角A-B₁P-B的正切值為

2

2

．

點評：本題考查了學(xué)生的空間想象力及作圖能力，同時考查了對正四棱柱的認(rèn)識，證明線面垂直時通常用線面垂直的判定定理，屬于中檔題．