Question

如圖，A、C兩島之間有一片暗礁，一艘小船于某日上午8時(shí)從A島出發(fā)，以10海里/小時(shí)的速度，沿北偏東75°方向直線(xiàn)航行，下午1時(shí)到達(dá)B處．然后以同樣的速度，沿北偏東15°方向直線(xiàn)航行，下午4時(shí)到達(dá)C島．
（1）求A、C兩島之間的直線(xiàn)距離；
（2）求∠BAC的正弦值．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，由已知，AB=10×5=50，BC=10×3=30，及∠ABC=180°-75°+15°=120可考慮利用據(jù)余弦定理求AC
（2）在△ABC中，據(jù)正弦定理，得

BC

sin∠BAC

=

AC

sin∠ABC

可求sin∠BAC

解答：解（1）在△ABC中，由已知，AB=10×5=50，BC=10×3=30，
∠ABC=180°-75°+15°=120°       （2分）
據(jù)余弦定理，得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC
=50²+30²-2×50×30cos120°=4900，
所以AC=70．（4分）
故A、C兩島之間的直線(xiàn)距離是70海里．（5分）
（2）在△ABC中，據(jù)正弦定理，得

BC

sin∠BAC

=

AC

sin∠ABC

，（7分）
所以sin∠BAC=

BCsin∠ABC

AC

=

30sin120°

70

=

3 3

14

．（9分）
故∠BAC的正弦值是

3 3

14

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)中的工具進(jìn)行求解，試題的難度一般不大