Question

16．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若$b=\sqrt{7}$，△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式可求sinA=2sinAcosB，結(jié)合sinA≠0，可求cosB的值，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得解B的值．
（Ⅱ）由已知及三角形面積公式可求ac=6，進(jìn)而利用余弦定理可求a+c的值，從而可求周長．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）•cosB=2sinAcosB-sinCcosB．…（2分）
可得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
可得：sin（B+C）=2sinAcosB，故sinA=2sinAcosB，
因為，sinA≠0，
所以$cosB=\frac{1}{2}$，$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）由已知，$\frac{1}{2}acsinB=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
又$B=\frac{π}{3}$，所以ac=6．…（8分）
由已知及余弦定理得，a²+c²-2accosB=7，
故a²+c²=13．…（10分）
從而（a+c）²=25，可得：a+c=5．
所以△ABC的周長為$5+\sqrt{7}$．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．