Question

10．已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球n個．若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是$\frac{1}{2}$．
（1）求n的值；
（2）從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為a，第二次取出的小球標號為b．
（i）記“a+b=2”為事件A，求事件A的概率；
（ii）在區(qū)間[0，2]內任取2個實數(shù)x，y，求事件“x²+y²＞（a-b）²恒成立”的概率．

Answer 1

分析 （1）利用從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號是2的小球的概率是$\frac{1}{2}$，確定n的值．
（2）（i）從袋子中不放回地隨機抽取2個球，共有基本事件12個，其中“a+b=2”為事件A的基本事件有4個，故可求概率．
（ii）記“x²+y²＞（a-b）²恒成立”為事件B，則事件B等價于“x²+y²＞4恒成立，（x，y）可以看成平面中的點，確定全部結果所構成的區(qū)域，事件B構成的區(qū)域，利用幾何概型可求得結論．

解答 解：（1）根據(jù)從袋子隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是$\frac{1}{2}$，可得$\frac{n}{1+1+n}=\frac{1}{2}$，
解得n=2．
（2）（i）從袋子中不放回地隨機抽取2個球，共有基本事件12個，其中“a+b=2”為事件A的基本事件有4個，則P（A）=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$．
（ii）“x²+y²＞（a-b）²恒成立”為事件B，則事件B等價于“x²+y²＞4恒成立，（x，y）可以看成平面中的點，則全部結果所構成的區(qū)域為Ω={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，
而事件B構成的區(qū)域B={（x，y）|x²+y²＞4，（x，y）∈Ω}，
所以P（B）=1-$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查等可能事件的概率，考查幾何概型，解題的關鍵是確定其測度．