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如圖,四棱錐的底面是正方形,,點在棱上.

(1)求證:平面平面;
(2)當,且時,確定點的位置,即求出的值.
(3)在(2)的條件下若F是PD的靠近P的一個三等分點,求二面角A-EF-D的余弦值.

(1)詳見解析;(2) ;(3).

解析試題分析:(1)證面面垂直,先證明線面垂直.那么證哪條線垂直哪個面?因為ABCD是正方形, .又由平面可得,所以可證平面,從而使問題得證.
(2)設AC交BD=O.由(1)可得平面,所以即為三棱錐的高.由條件易得.
因為,所以可求出底面的面積.又因為PD=2,所以可求出點E到邊PD的距離,從而可確定點E的位置.
(3)在本題中作二面角的平面角較麻煩,故考慮建立空間直角坐標系,然后用空間向量求解.
試題解析:(1)證明:四邊形ABCD是正方形ABCD,.
平面,平面,所以.
,所以平面.
因為平面,所以平面平面.
(2) 設.,.

在直角三角形ADB中,DB=PD=2,則PB=
中斜邊PB的高h=

即E為PB的中點.
(3) 連接OE,因為E為PB的中點,所以平面.以O為坐標原點,OC為x軸,OB為y軸,OE為z軸,建立空間直角坐標系.
則A(1,0,0),  E(0,0,1) ,F(0,-1,) , D(0,-1,0).
平面EFD的法向量為
為面AEF的法向量。

令y=1,則

所以二面角A-EF-D的余弦值為
考點:1、平面與平面的垂直;2、幾何體的體積;3、二面角.

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,垂直于底面,分別為的中點.

(1)求證:
(2)求點到平面的距離.

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(1)求證:;
(2)求直線與平面所成角的余弦值的大小.

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如圖,在四棱錐中,底面為菱形,的中點.

(1)若,求證:平面平面
(2)點在線段上,,試確定的值,使平面.

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如圖,是以為直徑的半圓上異于點的點,矩形所在的平面垂直于該半圓所在平面,且

(Ⅰ).求證:;
(Ⅱ).設平面與半圓弧的另一個交點為,
①.求證://;
②.若,求三棱錐E-ADF的體積.

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如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

(Ⅰ)證明:AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.

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如圖在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,側面底面,且,設、分別為、的中點.

(1)求證://平面;
(2)求證:面平面

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如圖,在三棱柱中, D是 AC的中點。

求證://平面 

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如圖,在等腰梯形中,是梯形的高,,,現將梯形沿折起,使,且,得一簡單組合體如圖所示,已知分別為的中點.

(1)求證:平面
(2)求證:平面.

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