給出下列命題:
①在區(qū)間(0,+∞)上,函數(shù)y=x-1y=x
1
2
,y=(x-1)2,y=x3中有三個是增函數(shù);
②若logm3<logn3<0,則0<n<m<1;
③若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對稱;
④已知函數(shù)f(x)=
3x-2,x≤2
log3(x-1),x>2
則方程 f(x)=
1
2
有2個實(shí)數(shù)根,
其中正確命題的個數(shù)為( 。
分析:由基本初等函數(shù)的單調(diào)性,可得①中的函數(shù)只有2個是增函數(shù),故①不正確;根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行等價(jià)變形,可得②正確;根據(jù)函數(shù)圖象平移公式,結(jié)合奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,可得③正確;根據(jù)指對數(shù)的運(yùn)算法則,結(jié)合分類討論解關(guān)于x的方程f(x)=
1
2
,可得④正確.由此可得本題的答案.
解答:解:對于①,四個函數(shù)中y=x-1在區(qū)間(0,+∞)上為減函數(shù),
y=(x-1)2在區(qū)間(0,+∞)上先減后增,可得有2個函數(shù)滿足增函數(shù)條件,故①不正確;
對于②,由logm3<logn3<0,得0>log3m>log3n
由函數(shù)y=log3x是增函數(shù),可得0<n<m<1,故②正確;
對于③,因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),得y=f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,
將函數(shù)圖象向右平移1個單位,得y=f(x-1)的圖象關(guān)于(1,0)對稱,得③正確;
對于④,函數(shù)f(x)=
3x-2,x≤2
log3(x-1),x>2
,可得當(dāng)x=2-log32或x=
3
+1
時(shí)滿足 f(x)=
1
2
,
即方程f(x)=
1
2
有2個實(shí)數(shù)根,可得④正確
其中的真命題是②③④,共3個
故選:C
點(diǎn)評:本題以命題真假的判斷為載體,著重考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性及圖象特征和指對數(shù)運(yùn)算法則等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•昌平區(qū)二模)給出定義:若m-
1
2
<x≤m+
1
2
(其中m為整數(shù)),則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù),記作{x}=m,在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f(x)=x-{x}的四個命題:
①函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,最大值是
1
2
;②函數(shù)y=f(x)在[0,1]上是增函數(shù);
③函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),最小正周期為1;④函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱中心是(0,0).
其中正確命題的序號是
①③
①③

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•奉賢區(qū)模擬)對于函數(shù)f(x)=x•sinx,給出下列三個命題:①f(x)是偶函數(shù);②f(x)是周期函數(shù);③f(x)在區(qū)間[0,π]上的最大值為
π2
.正確的是
(寫出所有真命題的序號).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•奉賢區(qū)二模)給出下列3個命題:
①在平面內(nèi),若動點(diǎn)M到F1(-1,0)、F2(1,0)兩點(diǎn)的距離之和等于2,則動點(diǎn)M的軌跡是以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓;
②在平面內(nèi),已知F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),若動點(diǎn)M滿足條件:|MF1|-|MF2|=8,則動點(diǎn)M的軌跡方程是
x2
16
-
y2
9
=1

③在平面內(nèi),若動點(diǎn)M到點(diǎn)P(1,0)和到直線x-y-2=0的距離相等,則動點(diǎn)M的軌跡是拋物線.
上述三個命題中,正確的有(  )

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