【題目】已知函數(shù)對任意實數(shù),都滿足,且,,當(dāng)時,.
(1)判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,并給出證明;
(3)若,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)為奇函數(shù);(2)在上單調(diào)遞減,證明見解析;(3).
【解析】
(1)令,代入抽象函數(shù)表達(dá)式即可證明函數(shù)的奇偶性;
(2)先證明當(dāng)時,,再利用已知和單調(diào)函數(shù)的定義,證明函數(shù)在上的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的奇偶性,即可得到函數(shù)在上的單調(diào)性;
(3)先利用賦值法求得再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可
解:(1)令,則.
∵,∴
∴函數(shù)為奇函數(shù);
(2)函數(shù)在上單調(diào)遞減.
證明如下:
由函數(shù)為奇函數(shù)得
當(dāng)時,,,
所以當(dāng)時,,
設(shè),則,∴,
于是,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
∵函數(shù)為奇函數(shù),∴函數(shù)在上單調(diào)遞減.
(3)∵,且,∴
又∵函數(shù)為奇函數(shù),∴
∵,∴,函數(shù)在上單調(diào)遞減.
又當(dāng)時,.
∴,即,
故的取值范圍為.
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【題目】已知數(shù)列的前項和為,,當(dāng)時,.數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的通項公式;
(3)若數(shù)列的前項和為,求證:.
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【題目】已知(,為此函數(shù)的定義域)同時滿足下列兩個條件:①函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;②如果存在區(qū)間,使函數(shù)在區(qū)間上的值域為,那么稱,為閉函數(shù);
請解答以下問題:
(1) 求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間;
(2) 判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)?并說明理由;
(3)若是閉函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
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【題目】p:關(guān)于x的方程無解,q:()
(1)若時,“”為真命題,“”為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.
(2)當(dāng)命題“若p,則q”為真命題,“若q,則p”為假命題時,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】為調(diào)查乘客的候車情況,公交公司在某為臺的名候車乘客中隨機抽取人,將他們的候車時間(單位:分鐘)作為樣本分成組,如下表所示:
組別 | 候車時間 | 人數(shù) |
一 | ||
二 | ||
三 | ||
四 | ||
五 |
(1)求這名乘客的平均候車時間;
(2)估計這名候車乘客中候車時間少于分鐘的人數(shù);
(3)若從上表第三、四組的人中隨機抽取人作進(jìn)一步的問卷調(diào)查,求抽到的兩人恰好來自不同組的概率.
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【題目】在高一某班的元旦文藝晚會中,有這么一個游戲:一盒子內(nèi)裝有6張大小和形狀完全相同的卡片,每張卡片上寫有一個成語,它們分別為意氣風(fēng)發(fā)、風(fēng)平浪靜、心猿意馬、信馬由韁、氣壯山河、信口開河,從盒內(nèi)隨機抽取2張卡片,若這2張卡片上的2個成語有相同的字就中獎,則該游戲的中獎率為________.
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【題目】已知二次函數(shù)滿足:,的最小值為1,且在軸上的截距為4.
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)若存在區(qū)間,使得函數(shù)的定義域和值域都是區(qū)間,則稱區(qū)間為函數(shù)的“不變區(qū)間”.試求函數(shù)的不變區(qū)間;
(3)若對于任意的,總存在,使得,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,分別是圖象的最高點與相鄰的最低點,且,,為坐標(biāo)原點.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)將函數(shù)的圖象向左平移1個單位后得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)的值域.
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