Question

12．己知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，若a₁=1，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，則$\frac{2{S}_{n}+144}{{a}_{n}+5}$的最小值為（　　）

• A． 4$\sqrt{19}$-4
• B． $\frac{27}{2}$
• C． $\frac{121}{9}$
• D． $\frac{67}{5}$

Answer 1

分析 由等比中項的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式列出方程求公差d，代入等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式求出a_n、S_n，代入$\frac{2{S}_{n}+144}{{a}_{n}+5}$，利用分離常數(shù)法化簡后，利用基本不等式求出式子的最小值，注意n為正整數(shù)．

解答 解：因為a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，所以a₃²=a₁a₁₃，
又a₁=1，所以（1+2d）²=1×（1+12d），
解得d=2或d=0（舍去），
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
則$\frac{2{S}_{n}+144}{{a}_{n}+5}$=$\frac{2{n}^{2}+144}{2n+4}$=$\frac{{n}^{2}+72}{n+2}$=$\frac{76}{n+2}$+（n+2）-4≥2$\sqrt{（n+2）•\frac{76}{n+2}}$-4=4$\sqrt{19}$-4．
由于n為正整數(shù)，且在（6，$\sqrt{76}$-2）遞減，在（$\sqrt{76}$-2，7）遞增，
且n=6時，$\frac{{n}^{2}+72}{n+2}$=$\frac{27}{2}$；n=7時，$\frac{{n}^{2}+72}{n+2}$=$\frac{121}{9}$．
而$\frac{27}{2}$＞$\frac{121}{9}$．
則n=7時，$\frac{2{S}_{n}+144}{{a}_{n}+5}$的最小值為$\frac{121}{9}$．
故選：C．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，等比中項的性質(zhì)，基本不等式求最值，解題的關(guān)鍵是利用分離常數(shù)法化簡式子，湊出積為定值．