Question

【題目】已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)并且與圓相外切，動(dòng)圓圓心的軌跡為.

（Ⅰ）求曲線的軌跡方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，設(shè)直線，設(shè)點(diǎn)，直線交于,求證：直線經(jīng)過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為雙曲線的右支，然后根據(jù)定義即可求得雙曲線的方程。

（Ⅱ）討論當(dāng)直線斜率存在與不存在兩種情況下直線過定點(diǎn)問題。當(dāng)斜率不存在時(shí)，易得直線過定點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立曲線方程，消y得到關(guān)于

x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)間的關(guān)系；利用，再證明直線BM經(jīng)過。

（Ⅰ）由已知，即

所以軌跡為雙曲線的右支，，，，

曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

（Ⅱ）由對(duì)稱性可知，直線必過軸的定點(diǎn)

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)， ，，，知直線經(jīng)過點(diǎn)

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線，，

直線 ，當(dāng)時(shí)，，

得，，

下面證明直線經(jīng)過點(diǎn)，即證，即

即，由，

整理得， ，即

即證經(jīng)過點(diǎn)，直線過定點(diǎn)