Question

已知函數(shù)，

  （Ⅰ）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

  （Ⅱ）令，是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng)（是自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù)的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由；

  （III）當(dāng)時(shí)，證明：

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ），使得當(dāng)時(shí)有最小值3（III）見(jiàn)解析

【解析】本試題主要是考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的問(wèn)題以及函數(shù)單調(diào)性的綜合運(yùn)用。

（1）要是函數(shù)在給定區(qū)間遞減，則導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上恒小于等于零，分離參數(shù)的思想得到參數(shù)的范圍。

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，那么根據(jù)對(duì)于參數(shù)的討論得到最值。

解：（Ⅰ）在上恒成立，

令 ，有  得   得 .

方法二：在上恒成立，即在上恒成立，令，而在上單調(diào)遞減，

\

（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使（）有最小值3，

 

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，（舍去），

②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

，，滿足條件. 

③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，（舍去），

綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有最小值3. 

（III）令，由（2）知，.令，，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增 

∴     

即