Question

如圖，點A，B分別是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點，圓B：（x一2）²十y²=9經過橢圓E的左焦點F₁．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過A作直線l與y軸交于點Q，與橢圓E交于點P（異于A）．
（i）求

F1Q

•

BP

的取值范圍；
（ii）是否存在定圓r，使得以P為圓心，PF₁為半徑的圓始終內切于圓r，若存在，求出圓r的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出a=2，b²=4-1=3，由此能求出橢圓E．
（Ⅱ）（i）當直線為x軸時，

F1Q

•

BP

=0．設直線AP：x=ty-2，與E：

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立，得（3t²+4）y²-12ty=0，由此能求出

F1Q

•

BP

的取值范圍．
（ii）假設存在定圓r滿足題意，根據橢圓的對稱性，猜想定圓r的圓心在x軸上，由此能求出定圓r的方程．

解答： 解：（Ⅰ）依題意知a=2，圓B：（x-2）²+y²=9中，
令y=0，得F₁（-1，0），
∴b²=4-1=3，
∴橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）（i）當直線為x軸時，

F1Q

•

BP

=0．
設直線AP：x=ty-2，與E：

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立，得（3t²+4）y²-12ty=0，
∴y_p=

12t

3t2+4

，x_p=

6t2-8

3t2+4

，
AP：x=ty-2中，令x=0，得yp=

2

t

，
∴

F1Q

•

BP

=（1，

2

t

）•（

6t2-8

3t2+4

-2，

12t

3t2+4

）=

8

3t2+4

∈(0，2)，
綜上所述，

F1Q

•

BP

的取值范圍是[0，2）．
（ii）假設存在定圓r滿足題意，
根據橢圓的對稱性，猜想定圓r的圓心在x軸上，
當P恰好為B時，圓P就是定圓B：（x-2）²+y²=9，交x軸于D（5，0），
當P無限接近于A時，圓P就是圓A：（x+2）²+y²=1，交x軸于C（-3，0）．
∴定圓r的圓心為CD中點F₂（1，0），恰好為E：

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點，
∴猜想定圓r：（x-1）²+y²=16．
下證：圓P始終內切于定圓r，
∵|PF₂|+|PF₁|=4，∴|PF₂|=4-|PF₁|得證．

點評：本題考查橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系、圓與圓的位置等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力、探索求解能力；考查數形結合思想、函數與方程、分類與整合等數學思想．